on the line: fevereiro 2015

terça-feira, 24 de fevereiro de 2015

Questão densidade

Uma solução apresenta massa de 30 g e ocupa um volume de 40cm³. Qual é a sua densidade absoluta, em g/L?

Primeiro, temos que transformar 40cm³ em L.

1cm³ = 1 mL
40cm³ = 40mL
1L = 1000mL
0,04L = 40mL

Agora só jogar na fórmula:

$d = \frac{m}{v} \rightarrow d = \frac{30}{0,04} \rightarrow d = 750 g/L$

UFG GO - Densidade

UFG-GO - Em um recipiente contendo 100mL (1,37 kg) de mercúrio líquido, são colocados dois cubos (A e B), com volumes de 2 cm³ cada, de um material inerte diante do mercúrio. Os cubos têm massas de 14 g e 20 g, respectivamente. Ao serem colocados no recipiente.

a) Os cubos vão para o fundo.
b) O cubo A afunda e o B flutua.
c) O cubo B afunda e o A flutua.
d) Os cubos flutuam a meio caminho do fundo.
e) Os cubos ficam na superfície do líquido.

Esse é uma questão muito simples envolvendo densidade, temos que ter a densidade dos dois cubos e a densidade do mercúrio líquido no qual os cubos vão ser colocados, então, vamos iniciar calculando a densidade do mercúrio:

1,37kg = 1370 gramas

$d = \frac{m}{v} \rightarrow d = \frac{1370}{100} \rightarrow d = 13,7 g/cm^{3}$

Agora vamos calcular a densidade do cubo A:

$d = \frac{m}{v} \rightarrow d = \frac{14}{2} \rightarrow d = 7 g/cm^{3}$

Cubo B:

$d = \frac{m}{v} \rightarrow d = \frac{20}{2} \rightarrow d = 10 g/cm^{3}$

Como as densidades dos cubos são menores que a densidade do mercúrio líquido, os dois cubos irão flutuar, ou seja, ficar na superfície.

Alternativa correta: E.

IFCE - Potenciação e Radiciação

IFCE - Para todo número real positivo a, a expressão $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{a^{3}} + \sqrt{a^{5}}}{\sqrt{a}}$ é equivalente a:

$a) 1 + \sqrt{a} + a$

$b) 1 + a + a^{2}$

$c) \sqrt{a} + a$

$d) \sqrt{a} + a^{2}$

$e) 1 + a$

$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{a^{3}} + \sqrt{a^{5}}}{\sqrt{a}} \rightarrow \frac{\sqrt{a} + \sqrt{a^{2} + a} + \sqrt{a^{2}+a^{2}+a}}{\sqrt{a}} \rightarrow \frac{\sqrt{a} + a\sqrt{a} + a.a\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \rightarrow \frac{\sqrt{a} + a\sqrt{a} + a^{2}\sqrt{a}}{\sqrt{a}} \rightarrow \frac{\sqrt{a} . (1 + a + a^{2})}{\sqrt{a}} \rightarrow 1+ a + a^{2}$

Alternativa correta: B.

UFMG - Potenciação

UFMG - O valor da expressão $(a^{-1} + b^{-1})^{-2}$ é:

a) [ab/(a + b)²]
b) [ab/(a² + b²)²]
c) a² + b²
d) [a²b²/(a + b)²]
$(a^{-1} + b^{-1})^{-2} \rightarrow \left ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right )^{-2} \rightarrow \left ( \frac{b + a}{ab} \right )^{-2} \rightarrow \left ( \frac{ab}{a + b} \right )^{2} \rightarrow \left ( \frac{a^{2}b^{2}}{(a+b)^{2}} \right )$

Alternativa correta: D.

PUC MG - Potenciação

PUC-MG - O resultado da expressão $[2^{9} : (2.2^{2})^{3}]^{-3}/2$ é:

a) 1/5
b) 1/4
c) 1/3
d) 1/2

Escrevendo o problema:

$\frac{\left [ \frac{2^{9}}{(2.2^{2})^{3}} \right ]^{-3}}{2}$

Agora é só utilizar propriedades básicas de potenciação:

$\frac{\left [ \frac{2^{9}}{(2.2^{2})^{3}} \right ]^{-3}}{2} \rightarrow \frac{\left [ \frac{2^{9}}{(2^{3}.2^{2.3})} \right ]^{-3}}{2} \rightarrow \frac{\left [ \frac{2^{9}}{2^{9}} \right ]^{-3}}{2} \rightarrow \frac{1^{-3}}{2} \rightarrow \frac{1}{2}$

Alternativa correta: D.

MACK SP - Movimentos da Terra

MACK-SP - No solstício de verão no Hemisfério Sul (21 de dezembro), os raios solares incidem perpendicularmente ao Trópico de Capricórnio. Isso significa que:

a) o Hemisfério Norte está recebendo menor insolação. Por isso, vive a sua estação fria, caracterizada por dias mais longos e noite mais curtas.

b) o Hemisfério Sul está recebendo maior insolação. Por isso, vive a sua estação fria, caracterizada por dias mais longos e noites mais curtas.

c) o Hemisfério Norte está recebendo maior insolação. Por isso, vive a sua estação quente, caracterizada por dias mais longos e noites mais curtas.

d) o Hemisfério Norte está recebendo menor insolação. Por isso, vive a sua estação fria, caracterizada por dias mais curtos e noites mais longas.

e) os dois Hemisférios, Norte e Sul, recebem a mesma insolação. Nesse data os dias e as noites duram exatamente doze horas em todo o planeta.

a) Incorreta. Os dias são mais curtos e as noites mais longas.

b) Incorreta. O Hemisfério Sul vive sua estação quente.

c) Incorreta. O Hemisfério Sul está recebendo maior insolação.

d) Correta.

e) Incorreta. 21/12 ocorre um solstício, não um equinócio.

Alternativa correta: D.

ACAFE - Movimentos da Terra

ACAFE - Dentre os diversos movimentos que nosso Planeta realiza no espaço, o de translação é muito importante, pois trata-se do movimento que a Terra faz ao se deslocar em torno do Sol, em uma órbita elíptica e com duração de aproximadamente 1 ano. Há quatro momentos específicos na translação da Terra que são utilizados para marcar a mudança de estações, ou seja, mudança no ângulo de incidência dos raios solares que trazem luz e calor para a superfície do Planeta.

Sobre este assunto, é correto afirmar:

I. O dia 21 de março corresponde à noite mais longa do ano para quem mora no Hemisfério Sul da Terra, pois marca o início do outono neste Hemisfério.

II. No dia 21 de junho o Sol encontra-se sobre o Trópico de Capricórnio.

III. Os equinócios correspondem às épocas do ano em que os Hemisférios Norte e Sul são igualmente iluminados, correspondendo ao início do outono e da primavera.

IV. No dia 23 de setembro o Sol encontra-se sobre o Trópico de Câncer.

V. O dia 21 de dezembro marca o solstício de verão no Hemisfério Sul.

As afirmativas corretas são:

a) I, II e IV.
b) III e V.
c) II, III e IV.
d) I e IV.
e) I, III e IV.

I. Incorreta. Noites e dias longos só ocorrem nos solstícios, e o no dia 21 de março ocorre o equinócio.

II. Incorreta. Nesse dia ocorre o solstício de inverno para o Hemisfério Sul, marcando o início do verão para o Hemisfério Norte. Portanto, o sol se encontra sobre o Trópico de Câncer.

III. Correta. Nos equinócios, o Sol se encontra sobre a linha do Equador, iluminando igualmente os dois hemisférios.

IV. Incorreta. O sol estará sobre a linha do Equador, pois é um equinócio.

V. Correta. Começa o verão no hemisfério Sul.

Alternativa correta: B.

Para quem tem dificuldade em gravar os solstícios e equinócios, gravem que dia 21/12 começa o nosso verão, então é um solstício de verão, e que 3 meses (21/03) depois irá ter o equinócio onde o sol fica igual para os dois hemisférios, mais 3 meses (21/06) irá ter o solstício de inverno para o hemisfério sul, e depois de mais 3 meses (23/09) ocorre o equinócio novamente.

Os dias podem acabar variando de ano para ano.

segunda-feira, 23 de fevereiro de 2015

FGV SP - Progressão Aritmética

FGV-SP - A soma de todos os inteiros entre 50 e 350 que possuem o algarismo das unidades igual a 1 é:

a) 4 566
b) 4 877
c) 5 208
d) 5 539
e) 5 880

Como ele quer que o algarismo das unidades seja 1, então ele quer a seguinte P.A:

(51, 61, 71, 81, ..., 341)

a1 = 51
r = 10
an = 341

Para jogar na fórmula da soma dos termos, temos que descobrir primeiro quantos termos existem nessa P.A:

$a_{n} = a_{1} + (n-1).r \rightarrow 341 = 51 + (n - 1).10 \rightarrow 341 = 51 + 10n - 10 \rightarrow 300 = 10n \rightarrow n = 30$

O número de termos na P.A é 30, então vamos fazer a soma dos termos:

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}).n}{2} \rightarrow S_{n} = \frac{(51 + 341).30}{2} \rightarrow S_{n} = \frac{11760}{2} \rightarrow S_{n} = 5880$

Alternativa correta: E.

PUC RJ - Progressão Aritmética

PUC-RJ - Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o 1º termo é igual a 5. A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O décimo termo é igual a:

a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24

Vamos ver quais informações foram nos dadas:

a1 = 5
n = 20
Sn = 480
a10 = ?

Primeiro, vamos jogar na formula do termo geral:

$a_{n} = a_{k} + (n-1).r$

$a_{n} = 5 + (20-1).r \rightarrow a_{n} = 5 + 19r$

Agora vamos para a fórmula da soma de todos os termos de uma P.A:

$S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}).n}{2}$

$S_{n} = \frac{(5 + (5 + 19r)).20}{2} \rightarrow 480 = \frac{(10 + 19r).20}{2} \rightarrow 480 = \frac{200 + 380r}{2} \rightarrow 480 = 100 + 190r \rightarrow 380 = 190r \rightarrow r = \frac{380}{190} \rightarrow r = 2$

Descobrimos que a razão dessa P.A é 2, agora vamos calcular o décimo termo:

$a_{10} = a_{1} + (n-1).r \rightarrow a_{10} = 5 (10 -1).2 \rightarrow a_{10} = 5 + 9.2 \rightarrow a_{10} = 23$

Alternativa correta: D.

domingo, 22 de fevereiro de 2015

UFPB - Questão progressão aritmética

UFPB - Um produtor rural teve problemas em sua lavoura devido à ação de uma praga. Para tentar resolver esse problema, consultou um engenheiro agrônomo e foi orientado a pulverizar, uma vez ao dia, um novo tipo de pesticida, de acordo com as seguintes recomendações:

No primeiro dia, utilizar 3 litros desse pesticida.
A partir do segundo dia, acrescentar 2 litros à dosagem anterior e, assim, sucessivamente.

Sabendo-se que, nesse processo, foram utilizados 483 litros de pesticida, conclui-se que esse produto foi aplicado durante:

a) 18 dias
b) 19 dias
c) 20 dias
d) 21 dias
e) 22 dias

Sabemos que no primeiro dia ele irá utilizar 3 litros, e depois, adicionar 2 litros a cada dia.

a1 = 3
a2 = 5
a3 = 7

É uma P.A de razão 2.

-> (3, 5, 7, 9, 11, ... , an)

Temos outro dado, que diz que foram utilizados 483 litros, então, a soma de todos os termos é 483 litros.

Sn = 483

Segue a formula da soma de todos os termos de uma P.A:

$Sn = \frac{(a_{1} + a_{n}) . n}{2}$

Ele quer saber por quantos dias foi usado o produto, portanto, procuramos o "n".

$483 = \frac{(3 + a_{n}) . n}{2}$

Vamos determinar o an pela lei de formação de uma P.A:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) . r$

$a_{n} = 3 + (n - 1) . 2 \rightarrow a_{n} = 3 + 2n - 2 \rightarrow a_{n} = 1 + 2n$

Agora vamos substituir o an na formula da soma dos termos:

$483 = \frac{(3 + 1 + 2n) . n}{2} \rightarrow 483 = \frac{(4 + 2n).n}{2} \rightarrow 483 = \frac{4n + 2n^{2}}{2} \rightarrow 966 = 4n + 2n^{2} \rightarrow 2n^{2} + 4n - 966 = 0$

Resolvendo a equação de segundo grau, temos:

$2n^{2} + 4n - 966 = 0 \rightarrow x^{1} = 21/ x^{2} = -23$

Como o número não pode ser negativo, a resposta final é 21 dias.

Alternativa correta: D.

sexta-feira, 20 de fevereiro de 2015

Questão grandezas proporcionais

A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3. Determine esses números.

Número 1 = x
Número 2 = y

Do enunciado, temos:

$x^{2} + y^{2} = 468$

$\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$

Resolvendo a fração:

$3x = 2y \rightarrow x = \frac{2y}{3}$

Substituindo na primeira equação:

$\left (\frac{2y}{3} \right )^{2} + y^{2} = 468 \rightarrow \frac{4y^{2}}{9} + y^{2} = 468 \rightarrow \frac{9y^{2} + 4y^{2}}{9} = 468 \rightarrow 13y^{2} = 4212 \rightarrow y^{2} = 324 \rightarrow y = \sqrt{324} \rightarrow y = 18$

Com o valor de y = 18, vamos substituir na fração:

$\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \rightarrow \frac{x}{18} = \frac{2}{3} \rightarrow 3x = 36 \rightarrow x = 12$

Então, x = 12 e y = 18.

Questão matemática básica

O valor de x na proporção

$\frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{x}{1 + \frac{2}{5}}$

a) 3/5
b) 28/15
c) 15/12
d) 15/28
e) 5/3

Questão de resolução envolvendo a matemática básica.

$\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{4}} = \frac{x}{\frac{7}{5}} \rightarrow \frac{35}{15} = \frac{5x}{4} \rightarrow \frac{7}{3} = \frac{5x}{4} \rightarrow 15x = 28 \rightarrow x = \frac{28}{15}$

Alternativa correta: B.

UF TO - Questão Porcentagem

UF-TO - Uma TV de plasma com 20% de desconto é vendida por R$ 2.500,00. O preço da TV sem desconto é:

a) R$ 3.125,00
b) R$ 3.000,00
c) R$ 2.800,00
d) R$ 3.100,00
e) R$ 3.500,00

20% corresponde a 0,2. Como a TV está com desconto de 20%, 1 - 0,2 = 0,8. Então, R$ 2.500 corresponde a 80% do valor original, portanto:

x = preço original

0,8 . x = 2500
x = 3125

Alternativa correta: A.

UEL PR - Questão Geometria Plana - Polígonos

UEL-PR - Seja o heptágono irregular, ilustrado na figura seguinte, onde seis de seus ângulos internos medem 120º, 150º, 130º, 140º, 100º e 140º.
A medida do sétimo ângulo é:

a) 110º
b) 120º
c) 130º
d) 140º
e) 150º

Primeiro, temos que descobrir a soma dos ângulos internos desse polígono, pela formula:

Si = (n - 2) . 180 (n = nº lados)
Si = (7 - 2) . 180
Si = 5 . 180
Si = 900º

Agora é só somar todos os ângulos e igualar a 900º.

120 + 150 + 130 + 140 + 100 + 140 + x = 900
780 + x = 900
x = 120º

Alternativa correta: B.

UFU MG - Questão Geometria Plana

UFU-MG - Na figura abaixo o ângulo x, em graus, pertence ao intervalo:

a) (0º, 15º)
b) (15º, 20º)
c) (20º, 25º)
d) (25º, 30º)

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º, então:

1º triângulo:

y + 3x + 4x = 180
y + 7x = 180
y = 180 - 7x

2º triângulo:

y + z + 5x = 180

como y = 180 - 7x, então:

180 - 7x + z + 5x = 180
z = 2x

3º triângulo:

z + 6x + 2x = 180
2x + 6x + 2x = 180
10x = 180
x = 18º

Alternativa correta: B.

PUC PR - Questão Cinemática

PUC-PR - Um ônibus percorre em 30 minutos as ruas de um bairro, de A até B, como mostra a figura:

Considerando a distância entre duas ruas paralelas consecutivas igual a 100 m, analise as afirmações:

I. A velocidade vetorial média nesse percurso tem módulo de 1 km/h.
II. O ônibus percorre 1500 m entre os pontos A e B.
III. O módulo do vetor deslocamento é 500 m.
IV. A velocidade vetorial média do ônibus entre A e B tem módulo 3 km/h.

Estão corretas:

a) I e III
b) I e IV
c) III e IV
d) I e II
e) II e III

I. Para calcular a velocidade vetorial média, precisamos calcular o deslocamento, iremos fazer isso por Pitágoras.

$x^{2} = 300^{2} + 400^{2} \rightarrow x^{2} = 90000 + 160000 \rightarrow x^{2} = 250000 \rightarrow x = \sqrt{250000} \rightarrow x = 500$

Esse é o famoso triângulo Pitágorico 3, 4 e 5, multiplicado por 100.

Agora que temos o deslocamento, só falta calcular a velocidade vetorial média.

30 min = 0,5h

Vm = Tempo/Deslocamento

$Vm = \frac{0,5}{0,5} = 1 km/h$

Alternativa I está correta.

II. A distância percorrida é 1.100m. Incorreta.

III. Correta, calculamos em I. (x = 500m)

IV. Incorreta, é 1 km/h.

Alternativa correta: A.

Questão Velocidade Média

Durante uma viagem, um motorista planeja percorrer 400 km em 5 h. Por problemas de tráfego, ele percorre os primeiros 100 km em 2 horas. Se no restante da viagem o motorista mantiver a velocidade média inicialmente planejada, chegará ao seu destino com atraso de:

a) 10 min
b) 15 min
c) 20 min
d) 30 min
e) 45 min

Essa é uma questão simples de velocidade média. Vamos primeiro calcular a velocidade média inicialmente planejada.

$Vm = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

$Vm = \frac{400}{5} \rightarrow Vm = 80 km/h$

Se tudo ocorre-se como o planejado, ele iria a 80km/h. Mas como os primeiros 100km ele fez em duas horas, temos que descobrir qual o tempo que ele irá levar para fazer 300km nas 3h restantes.

$80 = \frac{300}{t} \rightarrow t = 3,75h$

Portanto, o atraso corresponde a 0,75h.

$0,75 . 60 = 45 min$

Alternativa correta: E.

segunda-feira, 16 de fevereiro de 2015

ACAFE - Matrizes

ACAFE - Dada a matriz $A = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 2 & -2 \end{bmatrix}$ , seja $A^{t}$ a sua matriz transposta. O produto $A . A^{t}$ é a matriz:

$a) \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 2 & -2 \end{bmatrix}$

$b) \begin{bmatrix} 0 & 2\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

$c) \begin{bmatrix} 1 & -2\\ -2 & 0 \end{bmatrix}$

$d) \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$

$e) \begin{bmatrix} 1 & -2\\ -2 & 8 \end{bmatrix}$

Primeiro, vamos fazer a transposta de A.

$A^{t} = \begin{bmatrix} 0 & 2\\ 1 & -2 \end{bmatrix}$

Agora, temos que fazer a multiplicação de matrizes, lembrando que ela é feita pelo método de linha vezes coluna.

$A = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 2 & -2 \end{bmatrix}$ X $A^{t} = \begin{bmatrix} 0 & 2\\ 1 & -2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0.0 + 1.1 & 0.2 + 1.-2\\ 2.0 + -2.1 & 2.2 + -2.-2 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2\\ -2 & 8 \end{bmatrix}$

Alternativa correta: E.